John Nash jr: Game over

Op 23 mei kwam de wiskundige en speltheoreticus John Forbes Nash jr. (86) om bij een auto-ongeluk. Nash' werk betekent veel voor praktische toepassingen in onder meer de economie. Hoe diep nadenken over een spelletje tot baanbrekende theorieën leiden, die de wereld begrijpelijker en voorspelbaarder maken.

De ironie, één van 's werelds beroemdste wiskundigen, komt om omdat hij verzuimde in een taxi zijn gordel om te doen. Zijn echtgenote zat naast hem en stierf ook. Een grote geest op het gebied van de wiskunde en speltheorie verongelukt, samen met zijn echtgenote, omdat zij hun veiligheidsgordels niet om hadden.

Speltheorie

John Nash jr. (1928, Bluefield, West-Virginia, VS) was één van de grootste geesten op het gebied van de wiskunde en de speltheorie. Hyperintelligent, in groot aanzien bij zijn vakgenoten, maar met - in de ogen van velen - ietwat zonderlinge trekken. Nash' wiskundige werk was beperkt qua omvang, maar overweldigend in de impact die het had binnen de wiskundige gemeenschap. Nash werd door zijn collega's beschouwd als arrogant, ambitieus en 'een beetje vreemd'. Zo had Nash de onhebbelijke gewoonte om plotseling - onaangekondigd - weg te lopen uit een conversatie. Hij werd vooral bekend door zijn werk over de 'onderhandelingsevenwicht'-theorie, een onderdeel van de speltheorie. Binnen de speltheorie is een 'spel' een interactie tussen spelers die individueel beslissingen nemen. De spelers ontvangen een beloning, de pay-off, die afhangt van hun eigen beslissingen, maar ook van die van de anderen. Er zijn coöperatieve spellen, waarin bindende afspraken tussen de spelers gemaakt kunnen worden, en niet-coöperatieve spellen, waar dit niet mogelijk is. Het schaakspel is een duidelijk voorbeeld van een niet-coöperatief spel. Schakers moeten zich wel aan de spelregels houden, maar voor de rest zijn zij tegenstanders, met elk een strategie, die in hun ogen de beste winstkansen geeft. In de loop van het spel moeten zij hun plannen bijstellen - de strategieën beïnvloeden elkaar. Evenals het feit dat ze van elkaar weten dat die plannen om de ander af te troeven er zijn. Tenzij ze elkaars strategieën kennen, heeft geen van beide spelers er belang bij van strategie te wisselen, beide partijen zullen in voorkomende gevallen de beste keuze maken die binnen hun strategie past.
Nash bewees dat in elk non-coöperatief spel met gemengde strategieën een evenwicht bestaat – het Nash-evenwicht
Nash bewees, dat in elk non-coöperatief spel met, zoals dat  heet, gemengde strategieën een evenwicht bestaat - het Nash-evenwicht. Dit Nash-evenwicht gaat uit van een niet-coöperatief spel, waarin elke deelnemer een bepaalde strategie heeft. Die strategie geeft precies aan wat een speler in de verschillende fases van een spel doet. Elke speler houdt vast aan zijn strategie en neemt in elke fase de beste beslissing die daarin past. In de speltheorie is een Nash-evenwicht het strategieprofiel waarbij het voor geen enkele deelnemer voordelig is van de strategie af te wijken, als de andere deelnemers dat ook niet doen.

Samenwerken of solo?

Het 'prisoner's dilemma' - waar twee verdachten apart van elkaar worden verhoord om een misdrijf te bekennen - is een van de bekendste voorbeelden hiervan. Het dilemma komt kortweg op het volgende neer. Dit zijn de regels: als één verdachte bekent is de zaak rond en gaat de verdachte vrijuit; degene die niet bekent riskeert tien jaar gevangenisstraf. Als ze beiden zwijgen kan niemand hun iets maken. Bekennen ze beiden, dan krijgt ieder vijf jaar cel. De vraag is nu: wat is voor de verdachten de optimale strategie? Dat is, dat het voor beide verdachten uiteindelijk beter is om niet te bekennen. Het 'prisoners dilemma' geldt als voorbeeld van de relatieve voordelen van al dan niet samenwerken.

Nash en economie

Het gebruik van wiskundige modellen in de economie kan helpen om betere voorspellingen te doen. Op dat gebied heeft het werk van Nash een grote bijdrage geleverd. De speltheorie is een tak van de wiskunde waarin het nemen van beslissingen centraal staat. Er zijn verschillende soorten speltheorie: aangaande coöperatieve spellen en niet-coöperatieve spellen; spellen met complete en incomplete informatie; symmetrische en niet-symmetrische spellen; sequentiële en simultane spellen; hybride spellen en metaspellen, elk met hun eigen karakteristiek. De speltheorie werd tijdens de Tweede Wereldoorlog ontwikkeld door de econoom Oskar Morgenstern en die andere briljante wiskundige John von Neumann. Zij schreven er in 1944 een boek over met de titel: Theory of Games and Economic Behaviour (De speltheorie en economisch gedrag). Nash' bijdrage aan de Speltheorie, Non-cooperative games , zou hem 44 jaar later de Nobelprijs Economie bezorgen, samen met twee economen, die aan hetzelfde topic een wezenlijke bijdrage hebben geleverd: John Harsanyi van Berkeley University in Californië en Reinhard Selten van de Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität in Bonn.
Nash is de enige die zowel een Nobelprijs als de Abelprijs in de wacht heeft gesleept
Minder bekend is echter dat Nash naast de Nobelprijs nog een andere, bijna even prestigieuze prijs kreeg: de Abelprijs, een prijs die sinds 2003 jaarlijks door de koning van Noorwegen wordt toegekend aan een zeer verdienstelijk wiskundige. Nash is hiermee de enige die zowel een Nobelprijs als de Abelprijs in de wacht heeft gesleept. En wel voor zijn bijdrage aan de non-lineaire partiële differentiaalwiskunde.  Nash en zijn echtgenote keerden net van het vliegveld naar huis terug na hun bezoek aan Noorwegen. Vier-en-twintig uur na dit hoogtepunt in zijn bijzondere loopbaan was hij dood.

Persoonlijk leven

Nash' persoonlijke leven was al even bijzonder als zijn wiskundige aanleg. Nadat hij in 1957 in het huwelijk was getreden met Alicia Larde, een telg uit een aristocratische familie uit El Salvador, die hij ontmoet had in hun studententijd, werd een jaar later bij Nash paranoïde schizofrenie vastgesteld. Nash leed aan grootheids- en achtervolgingswaan. Na een problematisch verblijf in Parijs en Genève keerde Nash in 1960 op Princeton terug. Daar zou hij, onderbroken door opnames in psychiatrische klinieken, tot 1970 blijven. Al die tijd was hij niet in staat om te werken, serieus te studeren, of werk van enig wetenschappelijk belang te produceren. Illustratief is de 30 jaar durende publicatiestilte tussen 1966 en 1996. Zijn vrouw Alicia scheidde van hem in 1963, maar bleef hem wel steeds verzorgen. In 2001 hertrouwde het koppel, Nash was toen 71, zijn vrouw vijf jaar jonger. Gelukkig voor Nash persoonlijk en voor de ontwikkeling van de wiskunde in het algemeen overwon Nash zijn schizofrenie. Zelf zei hij daarover dat de 'hormonale ontwikkelingen van het ouder worden' daar de oorzaak van waren geweest: 'I emerged from irrational thinking, ultimately, without medicine other than the natural hormonal changes of aging'. Het geniale wetenschappelijke werk en de bijzondere levensloop van Nash hebben geleid tot de Hollywoodproductie 'A Beautiful Mind' uit 2001. Hierin wordt de persoon van Nash vertolkt door auteur Russell Crowe, die naar aanleiding van Nash' dood ontzet twitterde: https://twitter.com/russellcrowe/status/602468781911183360

Betekenis voor de wetenschap

De betekenis van het werk van Nash voor de wiskunde en economische wetenschap is groot. Niet alleen leverde Nash een substantiële bijdrage aan de ontwikkeling van de speltheorie, ook verbond hij samen met wiskundige Louis Nirenberg twee verschillende vakgebieden met elkaar: non-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen (PDV’s) met topologie, dat abstracte geometrische vormen onderzoekt. PDV's helpen wiskundigen problemen op verschillende manieren te bestuderen, maar daar zijn regels voor nodig. Die regels worden door de PDV’s beschreven. PDV’s zijn vergelijkingen die veranderingen beschrijven in systemen met meerdere dimensies. Denk daarbij bijvoorbeeld aan warmtestroming in een kamer of het gedrag van financiële markten. Ook krommingen kunnen worden beschouwd als een verandering in meerdere dimensies, waardoor PDV’s wiskundigen van regels voorzien waarmee ze complexe geometrische structuren kunnen onderzoeken.
Complexe wiskundige modellen hebben veel praktische toepassingen opgeleverd
Hieruit vloeien allerhande praktische toepassingen in het dagelijks leven voort. Bijvoorbeeld de matlab, een technische softwareomgeving die in de industrie gebruikt wordt voor allerhande wiskundige toepassingen zoals het berekenen van functies, het bewerken van matrices, statistische verwerkingen van data, het tekenen van grafieken, opstellen en implementeren van algoritmen en het maken van grafische gebruikersinterfaces. Maar ook worden PDV's toegepast bij warmtevergelijking, welke ook wordt toegepast in de financiële wiskunde, met name om het optreden van 'onverwachte' crashes te voorspellen. Andere toepassingsgebieden zijn MRI-beeldverwerking en ecologische, chemische en geologische toepassingen. In de praktijk worden niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen veelal gebruikt voor montage, controleprocessen, ecologische en economische systemen, chemische bloedsomloop, epidemiologische beschrijvingen en andere medische toepassingen. De toepassingen van dit soort wiskundige vergelijkingen om dergelijke processen te beschrijven leveren een nauwkeuriger weergave van de werkelijkheid op en zijn dus nuttig. Kortom, de praktische waarde van zuivere wiskunde voor de ontwikkeling van nieuwe producten en diensten - en daarmee voor de economie in het algemeen - is groot en Nash heeft een belangrijke bijdrage geleverd aan de ontwikkeling van het vakgebied.

Met John Nash verliest de wereld één van zijn briljantste geesten. Tot besluit hieronder een link naar een korte film, waarin Nash zelf over zijn leven en werk praat. Klik hier.